Démonstration partielle de la propriété

Démonstration  pour le cas  $q>1$

On rappelle l'inégalité de Bernoulli démontrée en exercice.
$\mathrm{\forall }a>0$ , $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ ,   $(1+a{)}^n⩾1+na$ .

Comme $q>1$ , il existe un réel  $a>0$ tel que $q=1+a$ .

D'après l'inégalité de Bernoulli,  $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},q^n⩾1+na$ .

Comme $a>0$ , $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}na=+\mathrm{\infty }$  et donc par somme  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}1+na=+\mathrm{\infty }$ .

D'après le théorème de comparaison, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{q}^n=+\mathrm{\infty }$ .